已知抛物线y2=2px(p>0)上有一点Q(4,m)到焦点F的距离为5,
(1)求p及m的值.
(2)过焦点F的直线L交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,求直线L的方程.
分析:(1)由抛物线y
2=2px(p>0)上的点到焦点的距离公式d=x+
,可求得p,从而求得m的值;
(2)直线L斜率存在,可设为k,L的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y
2=4x,得k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0;设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由根与系数的关系得x
1+x
2,x
1x
2;再由弦长公式|AB|=
|x
1-x
2|=8,可求得k的值,从而求得直线L的方程.
解答:解:(1)由题意知
|FQ|=4+=5,∴p=2.∵m
2=2×2×4,∴m=±4
(2)由题意知直线L的斜率存在,设为k,则直线L的方程为:y=k(x-1),代入抛物线方程:y
2=4x,得
k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0,设点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),∴
x1+x2=,x1x2=1;
又∵|AB|=
|x
1-x
2|=8,
|AB|==8∴+-2=0∴k2=1∴k=±1;
∴所求直线方程为:x-y-1=0或x+y-1=0.
点评:本题考查了抛物线的几何性质以及弦长公式的应用,也考查了一定的计算能力,解题时要灵活运用公式,正确解答.