Question

3．设p：f（x）=lnx+$\frac{1}{3}$mx³-$\frac{3}{2}$x²+4x+1在$[{\frac{1}{6}，6}]$内单调递增，q：m≥$\frac{5}{9}$，则q是p的（　　）

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 f′（x）=$\frac{1}{x}$+mx²-3x=$\frac{m{x}^{3}-3{x}^{2}+1}{x}$，由于f（x）在$[{\frac{1}{6}，6}]$内单调递增，可得f′（x）≥0，m≥$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{3}}$=g（x），再利用导数研究函数g（x）的单调性，可得g（x）的最大值，即可判断出结论．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+mx²-3x=$\frac{m{x}^{3}-3{x}^{2}+1}{x}$，
∵f（x）在$[{\frac{1}{6}，6}]$内单调递增，
∴f′（x）≥0，m≥$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{3}}$=g（x），
g′（x）=$-\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{3}{{x}^{4}}$=$\frac{3-3{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
当x∈$[\frac{1}{6}，1）$时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当x∈（1，6]时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得最大值g（1）=2．
∴m≥2．
则q是p的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．