Question

【题目】已知圆C与圆C1：5x2+5y2﹣mx﹣16y+32＝0外切于点P（），且与y轴相切．

（1）求圆C的方程

（2）过点O作直线l1，l2分别交圆C于A、B两点，若l1，l2斜率之积为﹣2，求△ABC面积S的最大值

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝1；（2）．

【解析】

（1）根据P（）在圆C1上，有，求得m＝22，得，C1P方程为4x﹣3y﹣4＝0，设C（x0，y0）（x0＞0），根据圆C与y轴相切和圆C与圆C1外切于P，建立方程组求解.

（2）根据题意设l1：y＝kx，l2：yx，由，消去y得（k2+1）x2+2x＝0，解得x＝0，，得到，同理可得，①当直线AB的斜率不存在时，易得；②当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程为，化简得，直线AB恒过，然后由求解.

（1）∵P（）在圆C1上，∴，

解得m＝22，

∴圆，得，

可得C1P方程为4x﹣3y﹣4＝0，

设C（x0，y0）（x0＞0），

∵圆C与y轴相切，∴r＝x0，

又圆C与圆C1外切于P，∴C在直线C1P上，且CP＝r，

则，解得或，

∵圆C与圆C1外切，∴C（1，0），

∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1；

（2）如图所示：

设直线l1的斜率为k（不妨设k＞0），则直线l2的斜率为，

∴l1：y＝kx，l2：yx，

由，消去y得（k2+1）x2+2x＝0，

解得x＝0，，∴，

以代k同理可得，

①当直线AB的斜率不存在时，

由，得，弦AB的长度为，；

②当直线AB的斜率存在时，，

∴直线AB的方程为，化简得，

∴直线AB恒过，

∴．

设，则，，

设，，

∴f（t）在上单调增，得，

∴．

综上，△ABC面积S的最大值为．