Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为E，过F₁于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．
（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k₁，k₂（k₁≠0，k₂≠0），证明：k₁•k₂为定值；
（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x_p的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程；
（II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1，
（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{（{my}_{1}-1）（{my}_{2}-1）}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{{{m}^{2}y}_{1}•{y}_{2}-{m（{y}_{1}+y}_{2}）+1}$，进而得到答案；
（ii）利用点差法，可得k_AB=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，故直线l的垂直平分线方程为：y-y₀=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x-x₀），令y=0，得P点横坐标，结合由H（x₀，y₀）在椭圆内部，可得答案．

解答 解：（I）由已知中过F₁于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；…3分
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$得：（m²+4）y²+2my-3=0，…5分
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
∵右顶点为E（2，0），
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{（{my}_{1}-1）（{my}_{2}-1）}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{{{m}^{2}y}_{1}•{y}_{2}-{m（{y}_{1}+y}_{2}）+1}$=$\frac{\frac{-3}{{m}^{2}+4}}{{{m}^{2}•\frac{-3}{{m}^{2}+4}}_{1}-m•\frac{-2m}{{m}^{2}+4}+1}$=-$\frac{3}{4}$，
∴k₁•k₂为定值；…8分
（ii）将A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1\\ \frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1\end{array}\right.$，
两式相减得：$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，
∴y₁+y₂≠0，x₁-x₂≠0，
∴-$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_AB，
设AB的中点H（x₀，y₀），则k_AB=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
故直线l的垂直平分线方程为：y-y₀=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0，得P点横坐标为：$\frac{3}{4}{x}_{0}$…10分，
由H（x₀，y₀）在椭圆内部，可得：x₀∈（-2，2），
故$\frac{3}{4}{x}_{0}$∈（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）…12分

点评 本题考查的知识点是椭圆的方程，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，难度中档．