Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 由已知条件，利用解直角三角形求出|BF|，再利用椭圆的对称性质能求出椭圆的离心率．

解答 解：如图所示，
在△AFB中，|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，
∴|BF|²=|AB|²-|AF|²=100-36=64，
∴|BF|=8，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=|AF|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6=14，2c=10，解得a=7，c=5，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的合理运用．