Question

如图，直角三角形ABC的三个顶点在给定的抛物线y²=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴，则AB边上的高|CD|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．

解答： 解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，
可设C的坐标为（

c2

2p

，c），B的坐标为（

b2

2p

，b），则A的坐标为（

b2

2p

，-b）；

AC

=（

c2

2p

-

b2

2p

，c-b），

CB

=（

b2

2p

-

c2

2p

，-b-c）
又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，
即

AC

•

CB

=0，
变形可得|b²-c²|=4p²，
而斜边上的高即C到AB的距离为|

b2

2p

-

c2

2p

|=

4p2

2p

=2p．
故答案为：2p．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．