Question

5．若函数f（x）=（1-x²）（x²-ax-9）的图象关于y轴对称，则f（x）的最大值是（　　）

• A． 9
• B． 16
• C． 18
• D． 20

Answer 1

分析 根据题意判断出函数的奇偶性，再由根据函数的奇偶性列出方程求出a的值，代入f（x）利用换元法、二次函数的性质求出f（x）的最大值．

解答 解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）=（1-x²）（x²-ax-9）是偶函数，
则f（-x）=f（x），即（1-x²）（x²+ax-9）=（1-x²）（x²-ax-9），
∴x²+ax-9=x²-ax-9，解得a=0，
则f（x）=（1-x²）（x²-9），设t=x²，则t≥0，
代入f（x）得，y=（1-t）（t-9）=-t²+10t-9
=-（t-5）²+16，
当t=5时，函数f（x）取到最大值是16，
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性的综合应用，换元法，以及二次函数的性质，属于中档题．