Question

16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，0≤α＜β≤2π，则β-α的值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{3π}{3}$或$\frac{7π}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得，-cosγ=cosα+cosβ，-sinγ=sinα+sinβ，两边同时平方相加整理可得cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$，再结合0＜β-α＜2π，求得β-α的值．

解答 解：∵cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，
∴-cosγ=cosα+cosβ，-sinγ=sinα+sinβ，
两边同时平方相加可得，sin²γ+cos²γ=（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²，
∴1=2+2cosαcosβ+2sinαsinβ，
∴2cos（α-β）=-1，cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$．
∵0≤α＜β≤2π，∴0＜β-α＜2π，
∴β-α=$\frac{2π}{3}$或 $\frac{4π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin²γ+cos²γ=1，从而可得α，β的基本关系，属于基础题．