Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…。
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：当n≥6时，|S_n-2|＜。

Answer 1

解：（1）因为
所以

一般地当时，=
即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为；
（2）由（1）知 ①
 ②
①-②得，

所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立
①当n=6时，成立
②假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由①②所述，当n≥6时，
即当n≥6时，。