Question

【题目】已知四棱锥中，底面，，底面是边长为的正方形，是的中点．

（1）求点到平面的距离；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据边长的关系和利用勾股定理的逆定理可得，设点到平面的距离为，利用等体积法和棱锥的体积公式，即可求点到平面的距离；

（2）设的中点为，连接、，根据三角形中位线的性质得出，得出是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求出，从而得出结果.

解：（1）由题可知，底面，，

且底面是边长为的正方形，

由于，

而，

，

在中，有，则，

所以，

设点到平面的距离为，

由于，则，

则，

解得：，

即点到平面的距离为.

（2）设的中点为，连接、，

∵是中点，∴，

∴是异面直线与所成角或其补角，

由于底面，底面，

则，

在中，，

而，，

在中，由余弦定理得：

，

又由于异面直线夹角范围为，

由此可得异面直线与所成角为的补角，

所以异面直线与所成角的余弦值为.