如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-
.
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
(1)2 (2) x2=y
解析解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-
,
所以A点坐标为.
故切线MA的方程为y=-(x+1)+
.
因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=-(2-
)+
=-
, ①
y0=-=-
. ②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A,B
,
x1≠x2,由N为线段AB中点知
x=, ③
y=. ④
切线MA,MB的方程为
y=(x-x1)+
, ⑤
y=(x-x2)+
. ⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
x0=,y0=
.
因为点M(x0,y0)在C2上,
即=-4y0,
所以x1x2=-. ⑦
由③④⑦得
x2=y,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆=1的右顶点,点D(1,0),点P、B在椭圆上,
=
.
(1) 求直线BD的方程;
(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长;
(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(
,
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
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已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
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已知点在椭圆
:
上,以
为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点
,且
,其中
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求直线
的方程;
(3)作直线与椭圆
:
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
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已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.
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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上且过点P,离心率是
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l过点E (-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=2|EB|,求直线l的方程.
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己知⊙O:x2+y2=6,P为⊙O上动点,过P作PM⊥x轴于M,N为PM上一点,且.
(1)求点N的轨迹C的方程;
(2)若A(2,1),B(3,0),过B的直线与曲线C相交于D、E两点,则是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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如图,椭圆的左焦点为
,右焦点为
,过
的直线交椭圆于
两点,
的周长为8,且
面积最大时,
为正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线与椭圆
有且只有一个公共点
,且与直线
相交于点
,证明:点
在以
为直径的圆上.
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