Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5-x对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=3时，即求解|2x-3|+|x-1|≥2．分①当x≥

3

2

时，②当1＜x＜

3

2

时，③当x≤1时，三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）即|2x-a|≥5-x-|x-1|恒成立，令g(x)=5-x-|x-1|=

6-2x，x≥1 4，x＜1

，由题意可得函数y=|2x-a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，
数形结合可求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）a=3时，即求解|2x-3|+|x-1|≥2．
①当x≥

3

2

时，不等式即 2x-3+x-1≥2，解得 x≥2．
②当1＜x＜

3

2

时，不等式即3-2x+x-1≥2，∴2-x≥2，∴x＜0．
③当x≤1时，3-2x+1-x≥2，解得3x≤2，即 x≤

2

3

．
∴综上，解集为{x|x≤

2

3

或x≥2}．…（5分）
（Ⅱ）即|2x-a|≥5-x-|x-1|恒成立
令g(x)=5-x-|x-1|=

6-2x，x≥1 4，x＜1

，则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，
故函数y=|2x-a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，数形结合可得

a

2

≥3，∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．…（10分）

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论和数形结合的数学思想，属于中档题．