Question

（2013•怀化三模）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值（微克/立方米）	[25，35]	（35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
频数	3	1	1	1	1	3

（Ⅰ）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，记一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的天数为η，求η的数学期望（视频率为概率）．

Answer 1

分析：（I）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，设“达到一级”为事件A，则P（A）=

3

10

．若随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率，利用二项分布即可得出P=

C

1 3

×

3

10

×(1-

3

10

)2．
（II）利用“超几何分布”即可得出；
（III）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，只有4天达到二级，因此这10天空气质量达到一级或二级的概率P=

3+4

10

=

7

10

．利用数学期望计算公式即可得出．

解答：解：（I）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，设“达到一级”为事件A，则P（A）=

3

10

．
∴随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率P=

C

1 3

×

3

10

×(1-

3

10

)2=

294

1000

．
（II）由题意可得ξ=0，1，2，3．
则P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，P（ξ=1）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

21

120

，P（ξ=2）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

63

120

，P（ξ=3）=

C 3 7

C 3 10

=

35

120

．
所以其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	1 120	21 120	63 120	35 120

数学期望为：E（ξ）=0×

1

120

+1×

21

120

+2×

63

120

+3×

35

120

=

21

10

．
（III）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，只有4天达到二级，因此这10天空气质量达到一级或二级的概率P=

3+4

10

=

7

10

．
因此一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的天数为η，则Eη=366×

7

10

=256.2天．

点评：本题考查了二项分布、“超几何分布”及其数学期望等基础知识与基本技能，属于基础题．