Question

解下列不等式：
（1）ax²+2ax+4≤0；
（2）（a-2）x²-（4a-3）x+（4a+2）≥0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）通过对a和△分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可解出；
（2）通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）①当a=0时，原不等式可化为4≤0，不成立，应舍去．
②当a≠0时，△=4a²-16a．
当a=4时，△=0，原不等式可化为（x+1）²≤0，解得x=-1，此时原不等式的解集为{-1}；
当△＜0时，解得0＜a＜4．此时原不等式的解集为∅．
当△＞0时，解得a＞4或a＜0．由ax²+2ax+4=0，解得x=

-2a±2 a2-4a

2a

=

-a± a2-4a

a

，
当a＞4时，原不等式的解集为{x|

-a- a2-4a

a

≤x≤

-a+ a2-4a

a

}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|x≥

-a- a2-4a

a

或x≤

-a+ a2-4a

a

}．
综上可得：当a=4时，不等式的解集为{-1}；
当△＜0时，不等式的解集为∅．
当△＞0时，当a＞4时，不等式的解集为{x|

-a- a2-4a

a

≤x≤

-a+ a2-4a

a

}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|x≥

-a- a2-4a

a

或x≤

-a+ a2-4a

a

}．
（2）①当a=2时，原不等式化为-5x+10≥0，解得x≤2，此时不等式的解集为{x|x≤2}；
②当a≠2时，△=25．此时不等式化为[（a-2）x-（2a+1）]（x-2）≥0，
当a＞2时，化为(x-

2a+1

a-2

)(x-2)≥0，此时

2a+1

a-2

＞2，
因此不等式的解集为{x|x≥

2a+1

a-2

或x≤2}；
当a＜2时，

2a+1

a-2

＜2，此时不等式化为(x-

2a+1

a-2

)(x-2)≤0，不等式的解集为{x|

2a+1

a-2

≤x≤2}．
综上可得：①当a=2时，不等式的解集为{x|x≤2}；
②当a＞2时，不等式的解集为{x|x≥

2a+1

a-2

或x≤2}；
当a＜2时，不等式的解集为{x|

2a+1

a-2

≤x≤2}．

点评：本题考查了分类讨论、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于难题．