Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，直线l过F₂交椭圆于B，C两点．
（1）如果直线l的方程为y=x-1，且△F₁BC为直角三角形，求椭圆方程；
（2）证明：以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F₁，F₂的距离之比为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．当B或C为直角顶点时，由对称性，不妨设B为直角顶点，由已知条件推导出椭圆方程为

x2

2

+y2=1；当F₁为直角顶点时，求出B（

1+k

1-k

，

2k

1-k

），C（

k-1

k+1

，

-2

k+1

），由此求出椭圆方程为

x2

3 +2

+

y2

3 +1

=1．
（2）设为P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²，由(

PF1

PF2

)2=

PF12

PF22

=

(x0+c)2+y02

(x0-c)2+y02

=

a+c

a-c

为定值，由此证明以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F₁，F₂的距离之比为定值．

解答： （1）解：∵l：y=x-1过右焦点F₂，∴F₂（1，0），∴椭圆左焦点F₁（-1，0），
∴c=1，设椭圆方程为

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．
①当B或C为直角顶点时，由对称性，不妨设B为直角顶点，
∴F₁B斜率为1，又过点F₁（-1，0），∴F₁B方程为y=-x-1，
联立

y=x-1 y=-x-1

，得B（0，-1），
∵点B地椭圆

x2

b2+1

+

y2

b2

=1上，代入得：b=1，又c=1，
∴a²=b²+c²=2，
∴此时椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
②当F₁为直角顶点时，设F₁B：y=k（x+1），
F1 C方程为y=-

1

k

(x+1)，联立y=-x-1，解得B（

1+k

1-k

，

2k

1-k

），
同理C坐标为（

k-1

k+1

，

-2

k+1

），
∵点B，C在椭圆

x2

b2+1

+

y2

b2

=1上，
∴

( 1+k 1-k )2 b2+1 + ( 2k 1-k )2 b2 =1 ( k-1 k+1 )2 b2+1 + ( -2 k+1 )2 b2 =1

，
解得b2=

3

+1，此时椭圆方程为

x2

3 +2

+

y2

3 +1

=1．
综上，所求的椭圆方程为

x2

2

+y2=1或

x2

3 +2

+

y2

3 +1

=1．
（2）证明：∵右顶点A（a，0），∴A为圆心，半径为b的圆为（x-a）²+y²=b²，
该圆上的任一点可设为P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²，
∴(

PF1

PF2

)2=

PF12

PF22

=

(x0+c)2+y02

(x0-c)2+y02

=

(x0+c)2+b2-(x0-a)2

(x0-c)2+b2-(x0-a)2

=

2x0c+2ax0

-2x0c+2ax0

=

a+c

a-c

为定值，
∴以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F₁，F₂的距离之比为定值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查圆上一点到椭圆两焦点的距离之比为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．