Question

袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为

5

12

．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C₉²种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C_n²种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．
（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，
试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C₉²种结果
而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C_n²种结果
设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为

C 2 n

C 2 9

，
由题意知

C 2 n

C 2 9

=

5

12

，即

n(n-1) 2

9×8 2

=

5

12

，
化简得n²-n-30=0．
解得n=6或n=-5（舍去）
故袋中原有白球的个数为6．
（2）用X表示取球终止时取球的总次数，
由题意，X的可能取值为1，2，3，4．
P(X=1)=

6

9

=

2

3

；
P(X=2)=

3×6

9×8

=

1

4

；
P(X=3)=

3×2×6

9×8×7

=

1

14

；
P（X=4）=

3×2×1×6

9×8×7×6

=

1

84

．
∴取球次数X的概率分布列为：

∴所求数学期望为E（X）=1×

2

3

+2×

1

4

+3×

1

14

+4×

1

84

=

10

7

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．