Question

5．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=3，2a_n=S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在正整数k，使得不等式a_k≥a_k+1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得S_n-S_n-1=S_nS_n-1，n≥2，S_n≠0，从而得到数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$-\frac{1}{2}$为公差的等差数列；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1求得{a_n}的通项公式；
（3）求出a₂＜0，自数列第三项起均大于0，结合二次函数的单调性可得存在正整数k=3，得不等式a_k≥a_k+1对任意不小于k的正整数都成立．

解答 （1）证明：由2a_n=S_nS_n-1（n≥2），得2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1（n≥2），
∴$\frac{1}{{S}_{n-1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=-\frac{1}{2}$（n≥2）．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$-\frac{1}{2}$为公差的等差数列；
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}（n-1）=\frac{5}{6}-\frac{n}{2}$，
∴${S}_{n}=\frac{6}{5-3n}$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{6}{5-3n}-\frac{6}{5-3（n-1）}$=$\frac{18}{（5-3n）（8-3n）}$．
验证n=1时上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{\frac{18}{（5-3n）（8-3n）}，n≥2}\end{array}\right.$；
（3）解：a₁=3＞0，a₂=-9＜0，当n≥3时，a_n＞0．
∵g（n）=（5-3n）（8-3n）=9n²-39n+40在[3，+∞）上为增函数，且有g（n）＞0，
∴g（n+1）＞g（n），即a_n+1＜a_n．
∴存在正整数k=3，得不等式a_k≥a_k+1对任意不小于k的正整数都成立．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，训练了数列函数特性的应用，是中档题，