Question

已知直线y=ax+2与圆x²+y²+2x-3=0相交于A、B两点，点P（x₀，y₀）在直线y=2x上，且PA=PB，则x₀的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由题意可得CP垂直平分AB，且 y₀=2x₀．直线垂直的关系，解得x₀与a的关系，把直线y=ax+2代入圆x²+y²+2x-3=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x₀的取值范围．

解答： 解：圆x²+y²+2x-3=0 即 （x+1）²+y²=4，表示以C（-1，0）为圆心，半径等于2的圆．
∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，
∵P（x₀，y₀）在直线y=2x上，
∴y₀=2x₀．
 又CP的斜率等于

2x0

x0+1

，
∴

2x0

x0+1

•a=-1，解得 x₀=

-1

2a+1

．
把直线y=ax+2代入圆x²+y²+2x-3=0可得，（a²+1）x²+（4a+2）x+1=0．
由△=（4a+2）²-4（a²+1）＞0，
即12a²+16a＞0，
得a＞0或a＜-

4

3

．
∴-1＜

-1

2a+1

＜0，或 0＜

-1

2a+1

＜

3

5

．
故x₀的取值范围为 （-1，0）∪（0，

3

5

），
故答案为：（-1，0）∪（0，

3

5

）

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．利用直线和圆的位置关系结合判别式△是解决本题的关键．