Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，由已知条件得tanθ＜1，渐近线的方程为y=$\frac{b}{a}$x，从而$\frac{b}{a}$＜1由此能求出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：如图，由△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，
设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，
又上述渐近线的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则$\frac{b}{a}$＜1，又e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴1＜e＜$\sqrt{2}$，
双曲线的离心率e的取值范围（1，$\sqrt{2}$），
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用，属于中档题．