Question

16．已知函数f（x）=x²+4x+4
（Ⅰ）若x∈[-4，a]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）定义在[a，b]上的函数f（x），g（x）如果满足，对任意x∈[a，b]，都有f（x）≤g（x）成立，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的弱函数，已知f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函数，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的对称轴，讨论a，①当-4＜a≤-2时，②当-2＜a＜0时，③当a≥0时，运用单调性和二次函数的性质，即可得到所求值域；
（Ⅱ）f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函数，可得（x+a+2）²≤4x在1≤x≤t恒成立，由参数分离可得a+2≤2$\sqrt{x}$-x，运用配方和二次函数的值域求法，可得右边的最小值，进而得到a的范围，可得a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x+2）²的对称轴为x=-2，
①当-4＜a≤-2时，f（x）递减，
由f（-4）=4，f（a）=a²+4a+4，
即有f（x）的值域为[a²+4a+4，4）；
②当-2＜a＜0时，f（-2）取得最小值0，f（-4）＞f（a），
即有f（x）的值域为[0，4]；
③当a≥0时，f（-2）取得最小值0，f（-4）＜f（a），
即有f（x）的值域为[0，a²+4a+4]．
（Ⅱ）f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函数，
可得（x+a+2）²≤4x在1≤x≤t恒成立，
即为x+a+2≤2$\sqrt{x}$，即a+2≤2$\sqrt{x}$-x，
由2$\sqrt{x}$-x=-（$\sqrt{x}$-1）²+1，
1≤x≤t，可得1≤$\sqrt{x}$≤t，
即有-（$\sqrt{x}$-1）²+1≥1-（t-1）²，
则a+2≤1-（t-1）²，
即有a+2≤1，即a≤-1．
则a的最大值为-1．

点评 本题考查二次函数的值域的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，同时考查新定义的理解和运用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题．