Question

（2011•滨州一模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的命题：①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[1，2]上单调递减；
④f（-

1

2

）＞f（3），
其中正确命题的序号是

①②④

．（请填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①利用周期函数的定义推导．②利用函数的奇偶性，推导．③利用函数的周期性与单调性的关系判断．④利用函数的单调性与周期性判断．

解答：解：①由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f（x），所以函数f（x）是周期函数，周期为2．所以①正确．
②因为f（x+2）=f（x），且函数为偶函数，所以f（x+2）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以f（x）关于直线x=1对称，所以②正确．
③因为函数f（x）是周期为2的函数且在[-1，0]上是增函数，所以f（x）在[1，2]上单调递增，所以③错误．
④因为f（3）=f（1）=f（-1），且f（x）在[-1，0]上是增函数，所以f（-

1

2

）＞f（-1），即f（-

1

2

）＞f（3）成立，所以④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查函数的奇偶性，周期性，对称性，以及单调性的应用．要求熟练掌握函数的这些性质的定义以及应用．