Question

15．设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则下列命题错误的是（　　）

• A． 若d＜0，则数列{S_n}有最大项
• B． 若数列{S}有最大项，则d＜0
• C． 若数列{S_n}是递增数列，则对任意n∈N*均有S_n＞0
• D． 若对任意n∈N*均有S_n＞0，则数列{S_n}是递增数列

Answer 1

分析 由等差数列的求和公式可得S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，利用二次函数的单调性与数列的单调性即可得出．

解答 解：由等差数列的求和公式可得S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S_n}有最大项，故正确；
选项B，若数列{S_n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；
选项C，若数列{S_n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N^*，均有S_n＞0，故错误．
选项D，若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S_n}是递增数列，故正确．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．