Question

已知函数f(x)=x²－1(x≥1)的图象是C₁，函数y=g(x)的图象C₂与C₁关于直线y=x对称．

(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；

(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x₁，x₂都有|h(x₁)－h(x₂)|≤a|x₁－x₂|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数．

Answer 1

解析：(1)由y=x²－1(x≥1)，得y≥0，且x=，∴f^－1(x)= (x≥0)，

即C₂：g(x)= ，M={x|x≥0}．                                   

(2)对任意的x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，则有x₁－x₂≠0，x₁≥0，x₂≥0．

∴|g(x₁)－g(x₂)|=|－|=＜|x₁－x₂|．

∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=．