【题目】已知函数
(1)若
，当
时，求
的单调区间；
(2)若函数
有唯一的零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
的单调增区间为
，的单调减区间为
，（2）实数
的取值范围为
。
【解析】
（1）对函数
求导，把
代入导函数中，利用导函数求出的单调区间；
（2）函数
有唯一的零点等价于方程
有唯一实数根，利用导数研究函数
与
的交点即可求出实数的取值范围。
（1）由题可得：
，定义域为
，
，
，
令
得：
或
（舍去）
令
得：
或
，结合定义域得：
令得：
，结合定义域得：
的单调增区间为，的单调减区间为，
（2）函数有唯一的零点等价于
只有唯一的实数根，
显然
，则只有唯一的实数根等价于关于
的方程有唯一实数根，
构造函数
，则
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，则函数
在
上单调递增；
令
，解得：
，则函数在
上单调递减；
的极小值为
，
如图，作出函数的大致图像，则要使方程只有唯一实数根，只需要直线
与曲线
只有唯一交点，
或
，解得：
或
，
故实数的取值范围为
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在正方体
中边长AB为2，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，Q为正方形ABCD内一点，M，N分别为AB，BC上靠近A和C的三等分点，若线段
与OP相交且互相平分，则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为____．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2
，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．
（1）证明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l： 
(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
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