Question

若一动点P到两定点A(0，

3

)、B(0，-

3

)的距离之和为4．
（ I）求动点P的轨迹方程；
（ II）设动点P的轨迹为曲线C，在曲线C任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足，当Q在曲线C上运动时，求线段QD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义，可得点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，根据椭圆标准方程采用待定系数法即可得到动点P的轨迹方程；
（2）设Q（x′，y′），QD中点为M（x，y），根据题意得x′=x，y′=2y，将点Q坐标代入P的轨迹方程化简整理，即可得到线段QD的中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）∵动点P到两定点A(0，

3

)、B(0，-

3

)的距离之和为4．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2a=4得a=2，c=

3

因此b²=a²-c²=1，可得动点P的轨迹方程为x²+

y2

4

=1；
（2）设Q（x′，y′），QD中点为M（x，y），
依题意x=x′，y=

1

2

y′，∴x′=x，y′=2y
∵点Q在x²+

y2

4

=1上，
∴（x'）²+

y′2

4

=1，即x²+y²=1
因此，线段QD的中点轨迹方程为x²+y²=1．

点评：本题给出椭圆上动点，求该点的轨迹方程，着重考查了椭圆的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．