Question

11．己知双曲线C的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直线l与双曲线C的左支有两个交点，且点M（0，1）到l的距离小于1，求直线l的倾斜角的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），利用双曲线C的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，可得c=$\sqrt{3}$，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，即可求双曲线C的方程；
（2）利用过点F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直线l与双曲线C的左支有两个交点，得出k＞-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．点M（0，1）到l的距离小于1，得出$\frac{|-1+\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，求出k的范围，即可求直线l的倾斜角的范围．

解答 解：（1）由题意设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∵双曲线C的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，
∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线C的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设直线方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），
∵过点F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直线l与双曲线C的左支有两个交点，
∴k＞-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．
∵点M（0，1）到l的距离小于1，
∴$\frac{|-1+\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴0＜k$＜\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{2}＜k＜\sqrt{3}$，
∴直线l的倾斜角的范围是（arctan$\sqrt{2}$，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线的倾斜角与斜率，属于中档题．