Question

在二项式(

x

+

1

2 4 x

)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  4

• C、

  1

  3

• D、

  5

  12

Answer 1

分析：求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：展开式的通项为Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

∴展开式的前三项系数分别为

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∵前三项的系数成等差数列
∴

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

解得n=8
所以展开式共有9项，
所以展开式的通项为Tr+1=(

1

2

)r

C

r 8

x

16-3r

4

=(

1

2

)r

C

r 8

x4-

3r

4

当x的指数为整数时，为有理项
所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项
所以有理项不相邻的概率P=

A 6 6 A 3 7

A 9 9

=

5

12

．
故选D

点评：解决排列、组合问题中的不相邻问题时，先将没有限制条件的元素排起来；再将不相邻的元素进行插空．