Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且a_n≠0，n∈N^*，其前n项和为S_n，若S₇•S₈＜0，则在

S1

a1

，

S2

a2

，…，

S8

a8

中最大的是

s4

a4

．

Answer 1

分析：由等差数列为递增数列，且S₇•S₈＜0，得到S₇＜0，S₈＞0，且公差d大于0，利用等差数列的求和公式变形，可得出a₄小于0，a₅大于0，利用等差数列的通项公式变形求出a₁的范围，可得出此数列前4项为负，从第五项开始为正，且第四项的绝对值最小，由S₇＜0，得到

S5

a5

，

S6

a6

，

S7

a7

都小于0，判断

S1

a1

，

S2

a2

，

S3

a3

，及

S4

a4

的大小，由第四项的绝对值最小，可得出

S4

a4

最大，然后判断得到

S8

a8

小于

S1

a1

，即可得到所求式子中最大的式子．

解答：解：∵等差数列{a_n}是递增数列，S₇•S₈＜0，
∴S₇＜0，S₈＞0，d＞0，
∴S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄＜0，即a₄=a₁+3d＜0，
又S₈=a₁+（a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈）=a₁+7a₅＞0，a₁＜0，
∴a₅=a₁+4d＞0，
∴-4d＜a₁＜-3d，

S5

a5

，

S6

a6

，

S7

a7

都小于0，不用考虑，
∵

S1

a1

=1，

S2

a2

=

a1+a2

a2

=1+

a1

a2

=1+

a1

a1+d

，且a₁＜0，d＞0，
∴

a1

a1+d

＞1，
∴

S2

a2

＞

S1

a1

；同理得到

S3

a3

＞

S2

a2

，

S4

a4

＞

S3

a3

，
而

S8

a8

=

8a1+28d

a1+7d

=8-

28d

a1+7d

＜8-

28d

-3d +7d

=1＜

S1

a1

，
综上，

S4

a4

最大．
故答案为：

S4

a4

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，以及不等式的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．