Question

a和b是两条异面直线，下列结论正确的个数是（　　）
（1）过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行．
（2）过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交．
（3）过a可以并且只可以作一个平面与b平行．
（4）过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都垂直．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面之间的位置关系对逐选项一一判断即可．

解答：解：（1）依题意，将a平移到与b相交，此时的a用a′表示，a′与b相交，确定平面α，则a∥α，在a′上选一点P（点P∉b），此时α不与b平行，故（1）错误；
（2）设点P为不在a、b上的任一点，则过点P，a可构成一个平面α，若b与平面平行，则过点P找不到这样的直线与a、b都相交，故（2）错误；
（3）过a可以并且只可以作一个平面与b平行，正确；
下面用反证法证明：
在a上任意取一点C，过此点做直线CD∥b；①
由于a，CD为两相交直线，故可唯一确定一平面α．显然，b∥α．
若另有一平面β，过a且平行于b，可过b和点C做平面γ，λ与β相交于过C点的直线CE．则CE∥b；②
由①②知CD，CE为同一直线，即β与α为同一平面，故（3正确；
（4）过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都垂直，正确．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面之间的位置关系，考查反证法与推理证明，属于中档题．