【题目】如图,已知垂直于梯形所在的平面,,为的中点,,.若四边形为矩形,线段与交于点.
(1)证明:∥平面.
(2)求二面角的大小。
(3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)详见解析;(2)(3)在线段上存在一点,且
【解析】
试题(1)连接在中,由题设知分别为中点,所以由此可证// 平面;
(2)如图以为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系利用空间向量的数量积求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐标,由法向量的夹角公式求出求二面角的大小;
(3)首先假设存在点Q满足条件.由设,再利用向量的夹角公式确定的值.
试题解析:解:(Ⅰ)连接在中,分别为中点,所以
因为
所以4分
(2)如图以为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系5分
则
设平面的法向量为则
即解得
令,得所以7分
因为平
所以,
由图可知二面角为锐二面角,
所以二面角的大小为9分
(3)设存在点Q满足条件.
由设,
整理得,11分
因为直线与平面所成角的大小为,
所以, 13分
则知,即点与E点重合.
故在线段上存在一点,且14分
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【题目】(.(12分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没奖。某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列。
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【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,对任意的x∈[t,t+2]不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,那么实数t的取值范围是( )
A. [,+∞) B. [2,+∞) C. (0,] D. [0,]
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【题目】甲、乙两名运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在、、、环,且每次射击成绩互不影响.根据以往的统计数据,甲、乙射击环数的频率分布条形图如下:
若将频率视为概率,回答下列问题:
(1)甲、乙各射击一次,求甲、乙同时击中环的概率;
(2)求甲射击一次,击中环以上(含环)的概率;
(3)甲射击次,表示这次射击中击中环以上(含环)的次数,求的分布列及数学期望.
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【题目】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子,第k(k=1,2,···,n)个袋中有k个红球,n-k个白球。将这些袋子混合后,任选一个袋子,并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。
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