Question

【题目】如图，已知垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，.若四边形为矩形，线段与交于点.

（1）证明：∥平面.

（2）求二面角的大小。

（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（3）在线段上存在一点，且

【解析】

试题（1）连接在中，由题设知分别为中点，所以由此可证// 平面；

（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系利用空间向量的数量积求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐标，由法向量的夹角公式求出求二面角的大小；

（3）首先假设存在点Q满足条件．由设，再利用向量的夹角公式确定的值．

试题解析：解：（Ⅰ)连接在中，分别为中点，所以

因为

所以4分

（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系5分

则

设平面的法向量为则

即解得

令，得所以7分

因为平

所以，

由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为9分

（3）设存在点Q满足条件．

由设，

整理得，11分

因为直线与平面所成角的大小为，

所以， 13分

则知，即点与E点重合．

故在线段上存在一点，且14分