Question

【题目】已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】m＜﹣3

【解析】

令t=f（x），则原函数y等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，转化为一元二次函数和二次方程问题，结合函数f（x）的图象，讨论t的范围，从而确定m的取值范围．

令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，

作出函数f（x）的图象如图，

图象可知：

当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；

当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；

当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；

当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；

当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．

要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，

则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，

且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，

令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，

将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，

此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，

若0＜t1＜1，t2＞1，则

即

解得m＜﹣3，

故答案为：m＜﹣3