Question

【题目】已知函数，．，e为自然对数的底数．

（1）如果函数在(0，)上单调递增，求m的取值范围；

（2）若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值；

（3）设，，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）1（3）见解析。

【解析】

（1）依题意h′（x）=ex﹣2mx≥0（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．即求函数的最小值即可;（2）设切点，则切线方程为则进而得到，令对函数求导得到函数的单调性和零点即可得到k值（3）：要证，只要证，两边同时除以令x2﹣x1=t，t＞0，即证（t﹣2）et+t+2＞0，利用=（t﹣2）et+t+2，（t＞0）单调性即可证明

：（1），

要使在上单调递增，则在上恒成立.

∴，∴，令，

当时，，单调递减，当时，，单调递增

∴当x=1时，有最小值为，∴

（2）∵，∴，设切点为，则

∴，令，

∴时，，单调递减，当k＞1时，，单调递增

∴k＝1时，，∴时，k＝1.∴实数k的值为1.

（3）要证

只要证，两边同时除以得：

，令得：

所以只要证：，令

∴，，∴

即，∴原不等式成立.