Question

已知函数y=logax，其中a∈{a|20＜12a-a2}．
（1）判断函数y=log_ax的增减性；
（2）若命题p：|f(

x

)|＜1-|f(2

x

)|为真命题，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得a²-12a+20＜0，即2＜a＜10，可得函数y=log_ax是增函数．
（2）不等式即 |loga

x

|+|loga2

x

|＜1，分0＜x＜

1

4

和

1

4

≤x＜1 以及x≥1三种情况，去掉绝对值，
分别求出解集，取并集即得所求．

解答：解：（1）∵a∈{a|120＜12a-a²}，∴a²-12a+20＜0，即2＜a＜10，∴函数y=log_ax是增函数．
（2）|f(

x

)|＜1-|f(2

x

)|，即 |loga

x

|+|loga2

x

|＜1，必有 x＞0．
当0＜x＜

1

4

时，loga

x

＜loga2

x

＜0，不等式化为-loga

x

-loga2

x

＜1，
∴-log_a2x＜1，故log_a2x＞1，∴x＞

1

2a

，此时，

1

2a

＜x＜

1

4

．
当

1

4

≤x＜1 时，loga

x

＜0＜loga2

x

，
不等式化为 -loga

x

+loga2

x

＜1，∴log_a2＜1，这显然成立，此时

1

4

≤x＜1．
当x≥1时，0≤loga

x

＜loga2

x

，不等式化为 loga

x

+loga2

x

＜1，∴log_a2x＜1，
故x＜

a

2

，此时，1≤x＜

a

2

．
综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是 {x|

1

2a

＜x＜

a

2

}．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．