Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2，PD=4．E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使得三棱锥F-ACE的体积恰为，若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据边的长度关系可知三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，同理PA⊥AB，又AD∩AB=A，满足线面垂直的判断定理，则PA⊥平面ABCD，根据线面垂直得到面面垂直，再由面面垂直得到线线垂直，即CD⊥AE，因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，从而AE⊥PD，又PD∩CD=D，满足线面垂直的判定定理可得结论．
（2）解法一：取AD的中点K，连接EK，过K作KT⊥AC，垂足为T，连接ET．易知∠ETK即为所求的平面ACE与平面ABCD所成二面角的平面角，在三角形ETK中求出此角的余弦值即可；解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，先求出平面AEC的一个法向量，而是平面ABCD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出所求；
（3）假设在线段BC上，存在点F（2，y，0），使得三棱锥F-ACE的体积恰为，然后求出点F（2，y，0）到平面AEC的距离为h，而h==解之即可．
解答：解：（1）因为PA²+AD²=4²+4²=32，PD²=（4）²=32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2）²=20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB．
又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD．
因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AE?平面PAD，
所以CD⊥AE．
因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD．
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD．
（2）解法一：取AD的中点K，连接EK，过K作KT⊥AC，垂足为T，连接ET．

因为E是PD的中点，所以EK∥PA，EK=2，EK⊥平面ABCD，
所以EK⊥AC．
又EK∩TK=K，所以AC⊥平面EKT，AC⊥ET，
故∠ETK即为所求的平面ACE与平面ABCD所成二面角的平面角，
因为三角形KTA与三角形CDA相似，所以=，
又AC==2，所以TK===，
所以ET==．
故cos∠ETK==．
解法二：如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，4，0），E（0，2，2），P（0，0，4），=（2，4，0），=（0，2，2），

设n=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，
则有，得，
令z=1得y=-1，x=2，即n=（2，-1，1），
由（1）可知=（0，0，4）是平面ABCD的一个法向量，
所以cos＜n，＞==．
结合图形易知，平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值为．
（3）如图，假设在线段BC上，存在点F（2，y，0），使得三棱锥F-ACE的体积恰为，
由（2）知，ET=，
AC=2，
则S_△ACE=AC•ET=×2×=2，
设F（2，y，0）到平面AEC的距离为h，则=×2×h，解得h=．
又=（2，y，0），n=（2，-1，1）为平面AEC的一个法向量，所以h===，
得|4-y|=2，所以y=2或y=6＞4（舍去），
所以点F的坐标为（2，2，0），即点F为BC的中点时三棱锥F-ACE的体积恰为．
点评：本题是一道综合题，考查了线面垂直的判定以及二面角的度量和几何体的体积等有关问题，同时考查了利用空间向量的方法求解立体几何问题，以及空间想象能力和计算能力的考查，属于中档题．