Question

12．一质点由A点出发沿直线AB运动，先以加速度大小为a₁的匀加速运动，接着做加速度为a₂的匀减速直线运动，抵达B点时恰好静止，如果AB的总长度为S，试求质点走完AB全程所用时间t．（用多种方法求解）

Answer 1

分析 可设质点做匀加速运动的时间为t₁，匀减速运动的时间为t₂，这样即可根据物理上的匀变速运动的公式得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}+{a}_{1}{t}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=S}\\{{a}_{1}{t}_{1}-{a}_{2}{t}_{2}=0}\end{array}\right.$，从而可解出时间t₁，t₂，这样即可得出质点走完AB全程所用时间t=t₁+t₂．

解答 解：设匀加速运动的时间为t₁，匀减速运动的时间为t₂，经过时间t₁的速度为a₁t₁，则由物理知识：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}+{a}_{1}{t}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=S}&{①}\\{{a}_{1}{t}_{1}-{a}_{2}{t}_{2}=0}&{②}\end{array}\right.$；
由②得${t}_{2}=\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}•{t}_{1}$，带入①可解出${{t}_{1}}^{2}=\frac{S}{\frac{1}{2}{a}_{1}+\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{2}}-\frac{1}{2}•\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{2}}}=\frac{2{a}_{2}S}{{a}_{1}{a}_{2}+{{a}_{1}}^{2}}$；
∴${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{a}_{2}S}{{a}_{1}{a}_{2}+{{a}_{1}}^{2}}}$；
∴${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{a}_{1}S}{{{a}_{2}}^{2}+{a}_{1}{a}_{2}}}$；
∴$t=\sqrt{\frac{2{a}_{2}S}{{a}_{1}{a}_{2}+{{a}_{1}}^{2}}}+\sqrt{\frac{2{a}_{1}S}{{{a}_{2}}^{2}+{a}_{1}{a}_{2}}}$．

点评 考查匀加速运动和匀减速运动的位移公式，及即时速度公式，消元的方法解方程组．