Question

【题目】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，

∴g（n）=12n+ ×4=2n2+10n（n∈N*）

∵f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额

∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．

由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18

由n∈N*知，从第三年开始盈利．

（2）解：方案①：年平均纯利润为 =40﹣2（n+ ）≤16，

当且仅当n=6时等号成立．

故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．

方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．

当n=10时，[f（n）]max=128．

故方案②共获利128+16=144（万元）．

比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算

【解析】（1）根据第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，故n年的总支出函数关系可用数列的求和公式得到；再根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额，可得前n年的纯利润总和f（n）关于n的函数关系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得该厂从第几年开始盈利；（2）对两种决策进行具体的比较，以数据来确定那一种方案较好．