Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点(

x

3

，

y

2

)是y=g（x）的图象上的点．
（I）写出y=g（x）的表达式；
（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；
（Ⅲ）当x在（Ⅱ）所给范围取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）令

x

3

=m，

y

2

=n，由题设条件知n=

1

2

log2(3m+1)，再由（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，可知g(x)=

1

2

log2(3x+1)(x＞-

1

3

)．
（II）由题意知

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．由对数函数的性质可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）由题意知g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．由此可知g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为

1

2

log2

9

8

．

解答：解：（I）令

x

3

=m，

y

2

=n，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log₂（x+1）的图象上可得2n=log₂（3m+1），故n=

1

2

log2(3m+1)，
又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故g(x)=

1

2

log2(3x+1)(x＞-

1

3

)．
（II）因为g（x）-f（x）≥0，所以

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．
由对数函数的性质可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
当且仅当3x+1=2时，即x=

1

3

时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为

1

2

log2

9

8

．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．