Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC=45°，AC=

2

．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若PD=2，BD=2

2

，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=F，证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AD．再由∠DAC=45°，DA=DC，可得△ADC为等腰直角三角形．根据DB平分∠ADC，可得F为AC中点，EF为△CPA的中位线，可得故有EF∥PA，再根据直线和平面平行的判定定理证得 PA∥平面BDE．
（Ⅱ）底面四边形ABCD的面积记为S，由于AC=

2

，可得AD=DC=1，求得 S=S_△ADC+S_△ABC=

1

2

•AC•BD 的值，再根据点E为线段PC的中点，可得 VE-ABC=

1

2

•VP-ABCD=

1

2

×

1

3

•PD•SABCD，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）设AC∩BD=F，连接EF，∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥CD．
又∵CD⊥PA，PD∩PA=P，PD，PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AD?平面PAD，∴CD⊥AD．…（2分）
∵∠DAC=45°，∴DA=DC，∴△ADC为等腰直角三角形．…（3分）
∵DB平分∠ADC，故F为AC中点，EF为△CPA的中位线．…（4分）
故有EF∥PA，而EF?平面BDE，PA不在平面BDE内，∴PA∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）底面四边形ABCD的面积记为S，由于AC=

2

，∴AD=DC=1，
则 S=S_△ADC+S_△ABC=

1

2

•AC•BD=

1

2

×

2

×2

2

=2．  …（9分）
∵点E为线段PC的中点，∴VE-ABC=

1

2

•VP-ABCD=

1

2

×

1

3

•PD•SABCD=

1

2

×

1

3

×2×2=

2

3

．  …（12分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求棱锥的体积，属于中档题．