Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，数列{a_n} 的前n项和为S_n，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，所以

1

an+1

=

4+ 1 an2

，所以

1

an+12

-

1

an2

=4，（n∈N^*），由此能求出数列{a_n} 的通项公式．
（2）由an=

1

4n-3

(n∈N*)，

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3，得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
所以

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）由an=

1

4n-3

，知an=

2

2 4n-3

＞

4n+1 - 4n-3

2

．由此能够证明S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

解答：（1）解：-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，
∴

1

an+1

=

4+ 1 an2

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4，（n∈N^*），
∴数列{

1

an2

}是等差数列，首项

1

a12

=1，公差d=4
∴

1

an2

=1+4(n-1)，
∴an2=

1

4n-3

，
∵a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

(n∈N*)…（4分）
（2）解：由an=

1

4n-3

(n∈N*)，

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3
得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
∴

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1，
∴数列{

Tn

4n-3

}是等差数列，首项为

T1

4-3

=1，公差为1
∴

Tn

4n-3

=n，∴T_n=4n²-3n当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=8n-7b₁=1也满足上式
∴b_n=8n-7，n∈N^*．…（8分）
（3）证明：an=

1

4n-3

，
∴an=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞

1

2

(

5

-1)+

1

2

 (

9

-

5

)+…+

1

2

(

4n+1

-

4n-3

)=

1

2

4n+1

-

1

2

＞

1

2

4n+1

-1…（12分）

点评：本题首先考查数列与不等式的综合应用，结合数列的性质解决不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求具有较强的计算能力，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．