Question

（2011•丹东模拟）如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

．记小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m）．
（Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式（不必证明）；
（Ⅱ）已知f（x）=

4-x，1≤x≤3 x-3，3＜x≤6

，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为ξ=f（m），试求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

，小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m），可得P（4，1），P（4，2），可以猜想P（n，m）；            
（II）ξ的可能取值为3，2，1，求出相应概率，可得分布列，从而可得期望．

解答：解：（I）根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

，小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m），可得P（4，1）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，P（4，2）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

猜想P（n，m）=

C

m-1 n-1

(

1

2

)n-1；                        …（6分）
（II）ξ的可能取值为3，2，1，…（7分）
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=

1

16

，P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）=

C

1 5

(

1

2

)5=

5

16

，P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=

5

8

分布列为：

ξ	3	2	1
P	1 16	5 16	5 8

…（10分）
Eξ=3×

1

16

+2×

5

16

+1×

5

8

=

23

16

．                   …（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．