Question

如图，已知四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BD=2，AC与BD交于E点，F是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AFC；
（2）求多面体PABCF的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接EF，
∵四边形ABCD是菱形，∴对角线交点E为BD的中点，
又∵F为PD的中点，∴PB∥EF
∵PB?平面AFC，EF⊆平面AFC，∴PB∥平面AFC．…（6分）
（Ⅱ）∵PA=AB=2，ABCD是菱形，∴△ABD为等边三角形
∴四边形ABCD的面积S=2S_△ABD=2××2²=2，S_△ACD=S_△ABD=，
取AD的中点G，连接GF，
∵FG为△PAD的中位线，∴FG∥PA且FG=PA=1
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCF=V_P-ABCD-V_F-ACD×2×2-××1=． …（12分）
分析：（Ⅰ）连接EF，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理，不难证出PB∥平面AFC．
（II）由等边三角形面积公式，算出菱形ABCD长，从而得到四棱锥P-ABCD的体积．取AD的中点G，连接GF，可证出FG长为1且是三棱锥F-ACD的高，从而算出三棱锥F-ACD的体积，最后用两个体积相减，即得多面体PABCF的体积．
点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中等题．