Question

设n个正数a₁，a₂，…，a_n满足a₁≤a₂≤…≤a_n（n∈N^*且n≥3）．
（1）当n=3时，证明：

a1a2

a3

+

a2a3

a1

+

a3a1

a2

≥a₁+a₂+a₃；
（2）当n=4时，不等式

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+

a3a4

a1

+

a4a1

a2

≥a₁+a₂+a₃+a₄也成立，请你将其推广到n（n∈N^*且n≥3）个正数a₁，a₂，…，a_n的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,不等式的证明

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）利用作差法证明即可；
（2）归纳的不等式为：

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

≥a1+a2+…+an（n∈N^*且n≥3），再用数学归纳法进行证明．

解答： （1）证明：因为a_n（n∈N^*且n≥3）均为正实数，
左-右=

1

2

(

a1a3

a2

+

a1a2

a3

-2a1)+

1

2

(

a2a3

a1

+

a1a2

a3

-2a2)+

1

2

(

a2a3

a1

+

a1a3

a2

-2a3)≥

1

2

(2

a1a3 a2 × a1a2 a3

-2a1)+

1

2

(2

a2a3 a1 × a1a2 a3

-2a2)+

1

2

(2

a2a3 a1 × a1a3 a2

-2a3)=0，
所以，原不等式

a2a3

a1

+

a1a3

a2

+

a1a2

a3

≥a1+a2+a3成立．    …（4分）
（2）解：归纳的不等式为：

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

≥a1+a2+…+an（n∈N^*且n≥3）．…（5分）
记Fn=

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

-(a1+a2+…+an)，
当n=3（n∈N^*）时，由（1）知，不等式成立；
假设当n=k（k∈N^*且k≥3）时，不等式成立，即Fk=

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

ak-2ak-1

ak

+

ak-1ak

a1

+

aka1

a2

-(a1+a2+…+ak)≥0．
则当n=k+1时，Fk+1=

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

ak-2ak-1

ak

+

ak-1ak

ak+1

+

akak+1

a1

+

ak+1a1

a2

-(a1+a2+…+ak+ak+1)
=Fk+

ak-1ak

ak+1

+

akak+1

a1

+

ak+1a1

a2

-

ak-1ak

a1

-

aka1

a2

-ak+1…（7分）
=Fk+ak-1ak(

1

ak+1

-

1

a1

)+ak+1(

ak

a1

-1)+

a1

a2

(ak+1-ak)≥0+

a

2 k

(

1

ak+1

-

1

a1

)+ak+1(

ak

a1

-1)+

a1

ak

(ak+1-ak)
=(ak+1-ak)(

ak

a1

+

a1

ak

-

ak+1+ak

ak+1

)，
因为a_k+1≥a_k，

ak

a1

+

a1

ak

≥2，

ak+1+ak

ak+1

≤

ak+1+ak+1

ak+1

=2，
所以F_k+1≥0，
所以当n=k+1，不等式成立．                   …（9分）
综上所述，不等式

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

≥a1+a2+…+an（n∈N^*且n≥3）成立．…（10分）

点评：本题考查等式的证明，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．