Question

4．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为$\sqrt{6}$，求C的方程．

Answer 1

分析 由已知条件，设双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为$\sqrt{6}$，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．

解答 解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，λ≠0
设P（m，n），则m²-4n²=4λ，
点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：
$\sqrt{（m-5）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-10m+25+\frac{{m}^{2}}{4}-λ}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}-10m+25-λ}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（m-4）^{2}+5-λ}$，
当m=4时，上式取得最小值$\sqrt{5-λ}$，
由题意可得$\sqrt{5-λ}$=$\sqrt{6}$，
解得λ=-1．
则双曲线C的方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线方程和二次函数最值求法的运用．