Question

【题目】如图，已知椭圆： 的离心率为， 为椭圆的右焦点， ， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点， 为椭圆上一点， 的中点为，直线与直线交于点，过作，交直线于点，求证： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中的等式关系可得的值，求得椭圆的方程；

（2）可设直线的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得，所以直线的方程是 ．令，得, 得直线的斜率是 ,问题得解.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得， ．

解得 ， ．所以 ，所以椭圆的方程是 ．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ．设的中点， ．

设直线的方程为： ，将其代入椭圆方程，整理得

，所以 ．所以 ， ，

即 ．所以直线的斜率是 ，

所以直线的方程是 ．令，得．

由，得直线的斜率是 ，

因为，所以直线的斜率为，所以直线．

解法二：由（Ⅰ）得 ．设，其中．

因为的中点为，所以 ．所以直线的斜率是 ，所以直线的方程是 ．令，得．

由，得直线的斜率是 ．因为直线的斜率是 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ．

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．