【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,
为椭圆
的右焦点,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,
为椭圆上一点,
的中点为
,直线
与直线
交于点
,过
作
,交直线
于点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题中条件要得两个等式,再由椭圆中的等式关系可得
的值,求得椭圆的方程;
(2)可设直线的方程,联立椭圆方程,由根与系数的关系得
,所以直线
的方程是
.令
,得
, 得直线
的斜率是
,问题得解.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
.依题意,得
,
.
解得 ,
.所以
,所以椭圆
的方程是
.
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 .设
的中点
,
.
设直线的方程为:
,将其代入椭圆方程,整理得
,所以
.所以
,
,
即 .所以直线
的斜率是
,
所以直线的方程是
.令
,得
.
由,得直线
的斜率是
,
因为,所以直线
的斜率为
,所以直线
.
解法二:由(Ⅰ)得 .设
,其中
.
因为的中点为
,所以
.所以直线
的斜率是
,所以直线
的方程是
.令
,得
.
由,得直线
的斜率是
.因为直线
的斜率是
,所以
,所以
.因为
,所以
.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,以此类推,统计结果如表:
停靠时间 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
轮船数量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时,求
的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2016年时红军长征胜利80周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答,宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动,其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星,每人获得一个纪念品,其数据表格如下:
(Ⅰ)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(Ⅱ)从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访,求这两人均来自乙公园的概率;
(Ⅲ)电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查,统计结果如下(单位:人):
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.
附临界值表及公式: ,其中
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,
为椭圆
的右焦点,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,
为椭圆上一点,
的中点为
,直线
与直线
交于点
,过
作
,交直线
于点
,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率
,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)对于直线和点
,椭圆
上是否存在不同的两点
与
关于直线
对称,且
,若存在实数
的值,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(1)设曲线在
处的切线为
,若
与点
的距离为
,求
的值;
(2)若对于任意实数,
恒成立,试确定
的取值范围;
(3)当时,函数
在
上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.
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