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    【题目】2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动，其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星，每人获得一个纪念品，其数据表格如下：

    （Ⅰ）求此活动中各公园幸运之星的人数；

    （Ⅱ）从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；

    （Ⅲ）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：

    据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.

    附临界值表及公式： ，其中

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

    【答案】(1) ， ， ， ；（2）;(3) 能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理分别计算甲、乙、丙、丁公园中幸运之星的人数；

    （Ⅱ）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；

    （Ⅲ）由表中数据，计算观测值K2，对照临界值得出结论．

    试题解析：

    （Ⅰ）甲、乙、丙、丁四个公园中幸运之星的人数为：

    ， ， ， .

    （Ⅱ）设乙公园的幸运之星为， ， ， ，丙公园的幸运之星为， ，则从中任选2人的所有基本结果为， ,,,,,,， ， ,， ， ,， 共15种.

    其中这两人均来自乙公园的基本结果为， ,,,， ，共6种，所以其概率为.

    （Ⅲ）由表中数据得的观测值，据此判断，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.

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    【题目】如图，在棱长均为4的三棱柱中， 分别是和的中点.

    （1）求证： 平面

    （2）若平面平面，求三棱锥的体积.

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    【题目】四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程和相关系数，分别得到以下四个结论：

    ① ②

    ③ ④

    其中，一定不正确的结论序号是（ ）

    A. ②③ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④

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    【题目】某市英才中学的一个社会实践调查小组，在对中学生的良好“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份问卷，对收回的120份有效问卷进行统计，得到如下列联表：

    做不到光盘

    能做到光盘

    合计

    男

    45

    10

    55

    女

    30

    15

    45

    合计

    75

    25

    100

    (1)现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望；

    (2)如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过，那么根据临界值表最精确的的值应为多少？请说明理由.

    附：独立性检验统计量，其中.

    独立性检验临界表：

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    【题目】为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上不影响其存活的记号,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.

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    【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    考前预估难度

    0.9

    0.8

    0.7

    0.6

    0.4

    测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：

    学生编号 题号

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    ×

    √

    √

    √

    √

    2

    √

    √

    √

    √

    ×

    3

    √

    √

    √

    √

    ×

    4

    √

    √

    √

    ×

    ×

    5

    √

    √

    √

    √

    √

    6

    √

    ×

    ×

    √

    ×

    7

    ×

    √

    √

    √

    ×

    8

    √

    ×

    ×

    ×

    ×

    9

    √

    √

    ×

    ×

    ×

    10

    √

    √

    √

    √

    ×

    （Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    实测答对人数

    实测难度

    （Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；

    （Ⅲ）定义统计量，其中为第题的实测难度， 为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.

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    【题目】如图，已知椭圆： 的离心率为， 为椭圆的右焦点， ， .

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设为原点， 为椭圆上一点， 的中点为，直线与直线交于点，过作，交直线于点，求证： .

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，,为的中点.

    （1）若，求证：；

    （2）若，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值.

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    【题目】甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：

    甲企业：

    乙企业：

    （1）已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差，该企业生产的零件质量指标值服从正态分布，其中近似为质量指标值的样本平均数（注：求时，同一组数据用该区间的中点值作代表），近似为样本方差，试根据该企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率.（精确到0.001）

    （2）由以上统计数据完成下面列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

    附注：

    参考数据： ，

    参考公式： ， ，

    .

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

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