Question

8．已知等差数列{a_n}中．a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}{a}_{n}$．
（1）证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}前n项的和为S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{n+1}{3n}{a}_{n}$变形即得结论；
（2）通过（1）可知数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，进而可知a_n=n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{n+1}{3n}{a}_{n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列；
（2）解：∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，a_n=n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$S_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
两式错位相减得：$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$•$\frac{2n+3}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．