Question

【题目】经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）﹣f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生产 100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M1（x）；
（2）利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

【答案】
（1）解：P（x）=R（x）﹣C（x）=3000x﹣20x2﹣（500x+4000）

=﹣20x2+2500x﹣4000（1≤x≤100，x∈N*），

M1（x）=P（x+1）﹣P（x）=2480﹣40x．（1≤x≤100，x∈N*）

（2）解：∵P（x）=﹣20 +74125，

∴当x=62 或63 时，P（x）max=74120．

又∵M1（x） 是减函数，∴当 x=1 时，M1（x）max=2440．

故利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）不具有相等的最大值

【解析】（1）P（x）=R（x）﹣C（x），M1（x）=P（x+1）﹣P（x）．（1≤x≤100，x∈N*）．（2）由P（x）=﹣20 +74125，利用二次函数的单调性可得，P（x）max ． 利用一次函数的单调性可得M1（x）max ．