Question

函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

解：由x+1＞0，得x＞-1，所以函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），
再由f（x）=x²+bln（x+1），得：=，
要使函数f（x）在其定义域内是单调函数，则f^′（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
因为x+1＞0，
令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为，所以只有当△=2²-4×2b≤0，即时g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调函数的b的取值范围是．
分析：求出原函数的定义域，要使原函数在定义域内是单调函数，则其导函数在定义域内恒大于等于0或恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0或恒小于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒大于等于0，由此解得b的取值范围．
点评：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调，说明函数的导函数在该区间内恒大于等于0或恒小于等于0．此题是中档题．