Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，AD⊥平面ABE，AD=AE，点F在线段DE上，且AF⊥平面BDE．求证：
（1）BE⊥平面ADE；
（2）BE∥平面AFC；
（3）平面AFC⊥平面ADE．

Answer 1

分析：（1）欲证BE⊥平面ADE，根据线面垂直的判定定理可知只需在平面ADE内找两条相交直线与BE垂直即可，根据线面垂直的性质可知AF⊥BE，AD⊥BE，而AD∩AF=A，满足定理所需条件；
（2）设AC与BD交于O，连接FO，然后根据中位线定理可知BE∥FO，而FO?平面AFC，BE?平面AFC，满足线面平行的判定定理所需条件；
（3）结合（1）（2）两问可知FO⊥平面ADE，而FO?平面AFC，满足面面垂直的判定定理．

解答：解：（1）∵AF⊥平面BDE，BE?平面BDE，AD⊥平面ABE，BE?平面ABE
∴AF⊥BE，AD⊥BE，而AD∩AF=A
∴BE⊥平面ADE；
（2）设AC与BD交于O，连接FO
∵AD=AE，AF⊥DE
∴点F为DE的中点，而O为BD的中点
根据中位线定理可知BE∥FO
而FO?平面AFC，BE?平面AFC
∴BE∥平面AFC；
（3）∵BE⊥平面ADE，BE∥FO
∴FO⊥平面ADE
而FO?平面AFC
∴平面AFC⊥平面ADE．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和面面垂直的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．